Forskjell mellom versjoner av «TFY4170 - Fysikk 2»

== Diffraksjon fra enkeltspalt ==

Vi ser på en monokromatisk, koherent lys som skinner gjennom en spalt med bredde $a$. For å finne intensiteten på den andre siden av spalten, legger vi sammen komponentbølger fra $N+1$ bølgekilder som befinner seg jevnt fordelt på $y$-aksen, mellom $y=-\frac{a}{2}$ og $y=\frac{a}{2}$. Vi får da et ututtrykk for det totale utvinget $u(r,\theta,t)$ i et punkt i avstand $r$ fra origo, med vinkel $\theta$ til $x$-aksen ved tida $t$. Avstanden mellom hver bølgekilde blir da $\frac{a}{N}$.

Faseforskjellen mellom to komponentbølger, sett fra et sted langt ute på $x$-aksen, som kommer fra to bølgekilder med avstand $\frac{a}{N}$ imellom, kaller vi $\phi$. Denne faseforskjellen oppstår som reslutat av forskjellig veilengde $\Delta r$ for de to komponentbølgene. Med bølgetall $k$ får vi følgende uttrukk for $\phi$.

\begin{eqnarray}

\label{phi}

\phi(\theta) &=& k \Delta r \nonumber \\

&=& \frac{ka}{N}\sin(\theta)

\end{eqnarray}

Når vi legger sammen de $N+1$ komponentbølgene får vi

\begin{eqnarray}

\label{sum}

u(r,\theta,t) &=& A \exp{i(kr - \omega t - \frac{N}{2} \phi) + A \exp{i(kr - \omega t - (\frac{N}{2}-1) \phi)} \nonumber \\ && + A \exp{i(kr - \omega t - (\frac{N}{2}-2) \phi) + ... + A \exp{i(kr - \omega t) \nonumber \\ && + ... + A \exp{i(kr - \omega t + (\frac{N}{2}-1) \phi) + A \exp{i(kr - \omega t + (\frac{N}{2}) \phi) \nonumber \\

&=& A \sum_{n=-N/2}^{n=N/2} \exp{i(kr - \omega t + n \phi)}.

\end{eqnarray}

I ligning \ref{sum} er $A$ amplituden til hver komponentbølge. Summen av amplitudene til alle komponentbølgene blir $A_{tot} = A N$ og vi kan skrive $A = \frac{A_{tot}}{N}$. Setter vi denne omskrivingen av $A$ og ligning \ref{phi} inn ligning i \ref{sum} får vi følgende.

\begin{eqnarray}

\label{sum2}

u(r,\theta,t) &=& \frac{A_{tot}}{N} \sum_{n=-N/2}^{n=N/2} \exp{i(kr - \omega t + n \phi)}

\end{eqnarray}

Om vi nå ser på grensa ${\lim }\limits_{n \to \infty }$ av ligning \ref{sum2}, går summen over til en integral og vi får

\begin{eqnarray}

\label{sumint}

u(r,\theta,t) &=& \frac{A_{tot}}{N} \int_{n=-N/2}^{n=N/2}\exp{i(kr - \omega t + n \phi)} dn.

\end{eqnarray}

Så setter vi inn for $\phi$ i ligning \ref{sumint} i henhold til ligning \ref{phi} blir utsvinget

\begin{eqnarray}

\label{sumint}

u(r,\theta,t) &=& \frac{A_{tot}}{N} \int_{n=-N/2}^{n=N/2}\exp{i(kr - \omega t + n \frac{ka}{N}\sin(\theta))} dn.

\end{eqnarray}

Posisjonen til en bølgekilde på $y$-aksen er gitt ved $y=\frac{a}{N}n$. Da kan vi gjøre et variabelskifte i integralet vårt.

\begin{eqnarray*}

\label{var}

n &=& \frac{N}{a}y \\

dn &=& \frac{N}{a} dy

\end{eqnarray*}

Vi kan nå evaluere integralet i ligning \ref{sumint}.

\begin{eqnarray}

\label{sumint}

u(r,\theta,t) &=& \frac{A_{tot}}{N} \int_{y=-a/2}^{y=a/2}\exp{i(kr - \omega t + \frac{N}{a}y \frac{ka}{N}\sin(\theta))} \frac{N}{a} dy \nonumber \\

&=& \frac{A_{tot}}{a} \int_{y=-a/2}^{y=a/2}\exp{i(kr - \omega t + y k \sin(\theta))} dy \nonumber \\

&=& \frac{A_{tot}}{a} \exp{i(kr - \omega t)} \int_{y=-a/2}^{y=a/2} \exp{i(y k \sin(\theta))} dy \nonumber \\

&=& \frac{A_{tot}}{a} \exp{i(kr - \omega t)} \frac{1}{k\sin(\theta)} [\exp{i(y k \sin(\theta))} ]_{y=-a/2}^{y=a/2} \nonumber \\

&=& \frac{A_{tot}}{ak\sin(\theta)} \exp{i(kr - \omega t)} [\exp{i(\frac{ak}{2} \sin(\theta))} - \exp{i(-\frac{ak}{2} \sin(\theta))}]\nonumber \\

&=& A_{tot} \exp{i(kr - \omega t)} \frac{\sin(\frac{ak}{2} \sin(\theta))}{\frac{ak}{2i}\sin(\theta)}\nonumber

\end{eqnarray}

I den siste omskrivinga har vi brukt definisjonen av $\sin()$-funkjsonen fra Rottmann s. 85. Vi definerer nå $\alpha \equiv \frac{ka}{2}\sin(\theta)$ og bruker at intensiteten er proporsjonal med absoluttverdien av utsvinget i andre og får til slutt

\begin{eqnarray*}

\frac{I(r,\theta)}{I(r,0) &=& \frac{|u(r,\theta,t)|^2}{|u(r,0,t)|^2} \nonumber \\

&=& \frac{\sin^2(\alpha)}{\alpha^2}}.\nonumber

\end{eqnarray*}