TMA4105 - Matematikk 2

Fra NanoWiki

Gå til: navigasjon, søk

Fakta vår 2012

  • Foreleser: Marius Thaule
  • Vurderingsform: Skriftlig eksamen (100 %)
  • Eksamensdato: 09.06.2012

Øvingsopplegg vår 2012

  • Antall godkjente: 8/12
  • Innleveringssted: Nordre lavblokk (SBII)

Innhold

Om faget

Matematikk 2 er en utvidelse av matematikk 1 fra grunnleggende kalkulus til multivariabel kalkulus. Viktige tema er kurver og flater i rommet, gradienter, dobbel- og trippelintegraler samt vektorfelt.

Erfaringer

Tegninger er veldig viktig i dette faget, oppgaver kan ofte bli veldig mye lettere etter at man får figuren på papir.

Nablavektoren \vec{\nabla}

Nablaoperatoren er definert som \nabla f(x,y,z) =\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z}. En naturlig utvidelse av dette blir nablavektoren, definert som vektoren \vec{\nabla} f(x,y,z) =[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}]. Retningen til denne vektoren angir den retningen der funksjonen f(x,y,z) vokser raskest, mens verdien til vektoren angir hvor stor denne veksten er. Ved å følge nablavektoren vil man altså alltid komme til nærmeste ekstrempunkt i funskjonen. Dersom man setter f(x,y,z)=k, der k er en konstant, altså man lager nivåkurver i f(x,y,z) vil nablavektoren stå normal på disse nivåkurvene.

Formelliste som gis til eksamen

Dekomponering av akselerasjonsvektor

\mathbf{a}(t) = v'(t)\mathbf{T}(t) + \kappa (t)v^2(t)\mathbf{N}(t)

Diskriminanten i annenderiverttesten

\Delta = AC - B^2\, der A = f_{xx},\,\,\, B = f_{xy},\,\,\, C = f_{yy}

Koordinatsystemer

Sylinderkoordinater (r,\,\theta,\,z)

x = r \cos{\theta}\quad y = r \sin{\theta} \quad z = z

r^2 = x^2 + y^2 \quad dV = r dz \,dr \,d\theta

Kulekoordinater (\rho,\,\phi,\,\theta)

x = \rho \sin{\phi}\cos{\theta}\quad y = \rho \sin{\phi}\sin{\theta} \quad z = \rho\cos{\phi}

\rho^2 = x^2 + y^2 + z^2 \quad dV = \rho^2 \sin{\phi} \,d\rho\, d\phi \,d\theta

Flateintegral

d\sigma = \left|\mathbf{N}(u,v)\right|\,du\,dv = \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\right|\,du\,dv

Tyngdepunkt og treghetsmoment

\bar{x} = \frac{1}{m} \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T x \, dm \quad \bar{y} = \frac{1}{m} \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T y \, dm \quad \bar{z} = \frac{1}{m} \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T z \, dm \quad dm = \delta(x,y,z)\,dV

I_x = \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T \left( y^2 + z^2 \right) \, dm \quad I_y = \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T \left( x^2 + z^2 \right) \, dm \quad I_z = \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T \left( x^2 + y^2 \right) \, dm \quad I_L = \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T R(x,y,z)^2 \, dm \quad

Vektoranalyse

Greens teorem: \oint_C P \, dx + Q \, dy = \int \! \! \! \! \int_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA

Divergensteoremet: \int \!\!\!\! \int_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,d\sigma = \int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int_T \operatorname{div}\, \mathbf{F}\,dV

Stokes' teorem: \oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{T}\,ds = \int \! \! \! \! \int_S \operatorname{curl}\,\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\,d\sigma

Eksterne linker

Hentet fra «http://www.nanowiki.no/wiki/TMA4105_-_Matematikk_2»
Personlige verktøy
Navnerom
Varianter
Handlinger
Navigasjon
Verktøy