TMA4115 - Matematikk 3

Fra NanoWiki

(Omdirigert fra TMA4115)

Gå til: navigasjon, søk

Fakta vår 2012

Foreleser: Dag Wessel-Berg
Vurderingsform: Skriftlig eksamen (100 %)
Eksamensdato: 04.06.2012

Øvingsopplegg vår 2012

Antall godkjente: 8/12
Innleveringssted: Nordre lavblokk (SBII)

Om faget

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

Komplekse tall

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

Andre ordens ordinære lineære differensialligninger

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

Matriseregning og lineær algebra

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet: Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i $R n$ , projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2011 var Advanced Engineering Mathematics (Erwin Kreyszig) lærebok i alle tre deler, mens Elementary Linear Algebra (Edwards & Penney) også ble benyttet i del (iii).

Komplekse tall

Et komplekst tall kan skrives på formen $z = a+bi = r\left(\cos\,\theta + i\,\sin\,\theta\right) = re^{i\,\theta}$ .

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = r\quad \operatorname{Arg}\,z = \arctan{\frac{b}{a}} = \theta$

Den komplekskonjugerte til $a + b i$ er $a - b i$ .

Røtter av komplekse tall

Gitt $w = z^n, \quad w = re^{i\,\theta + 2\pi k}, \quad z = \rho e^{i\,\phi}$

$z^n = \rho^n e^{i\,n\phi} = w$

$\rho = \sqrt[n]{r} \quad \phi = i\frac{\theta + 2\pi k}{n}, k \in \left[0,n-1\right]$

Et komplekst tall har n n-terøtter, som ligger jevnt fordelt på en sirkel med radius $ρ$ i det komplekse planet.

Andre ordens differensiallikninger

Homogene differensiallikninger

Den homogene andreordens differensiallikningen $y'' + ay' + by = 0\,$ løses ved å løse den karakteristiske likningen $\lambda^2 + a\lambda + b = 0\,$ .

Hvis den karakteristiske likningen har kompleks løsning $λ = α + i ω$ , er den generelle løsningen $y = e^{\alpha x}\left(c_1\cos{\omega x} + c_2\sin{\omega x}\right)$
Hvis den karakteristiske likningen har én reell løsning (dobbelrot), er den generelle løsningen $y = \left(c_1 + c_2x\right)e^{\lambda x}$
Hvis den karakteristiske likningen har to distinkte, reelle løsninger, er den generelle løsningen $y = c_1e^{\lambda_1x} + c_2e^{\lambda_2x}$

Euler-Cauchy-likning

Euler-Cauchy-likninger er på formen $y'' + \frac{a}{x}y' + \frac{b}{x^2}y = 0$ . Den karakteristiske likningen er $m^2 + (a-1)m + b = 0\,$ , og løsningen er $y = c_1x^{m_1} + c_2x^{m_2}$

Inhomogene differensiallikninger

Den inhomogene andreordens differensiallikningen $y'' + ay' + by = r(x)\,$ har løsning $y = y_h + y_p\,$ , der $y_h\,$ er løsningen av den homogene likningen, og $y p$ er én partikulær løsning av den inhomogene likningen. $y_p\,$ kan finnes på ulike måter:

Ubestemte koeffisienters metode

Variasjon av parametre

Viktige matriseidentiter og egenskaper

Konsekvenser av invertiblitet

Følgende utsagn er ekvivalente:

A er inverterbar.

det(A) ≠ 0.

A er radekvivalent med I.

$A x = 0$ har kun den trivielle løsningen $x = 0$

$A x = b$ har én unik løsning.

Determinanter

NB: Kun definert for n x n-matriser.

Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

Hvis en matrise har determinant lik 0 er den IKKE inverterbar

det(AB) = det(A)•det(B)

Lineær avhengighet

Def: Vektorene $v 1, v 2,..., v k$ er lineært uavhengige dersom $c 1 v 1 + c 2 v 2 + ... + c k v k = 0$ , kun har den trivielle løsningnen $c 1 = c 2 = ... = c k = 0$ .

Basis

Def: En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

Vektorene i S er lineært uavhengige.

Vektorene i S utspenner hele V.

Rad-, kolonne- og nullrom

Radvektorene i en echelonmatrise A er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller Row(A) til matriser som er radekvivalente med A.

En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise E på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i E utgjør basisen for kolonnerommet.

Kolonnerommet eller Col(A) utgjør løsningsrommet til Ax=b. Altså ligger alle b som har løsning i Col(A).

Nullrommet eller Null(A) er basis for løsningene av Ax=0.

Rank(A) = dim(Col(A)) = dim(Row(A))

n = rank(A) + dim(Null(A)). Der n er antall kolonner i A.

Row(A) sitt ortogonale komplement er Null(A).

Col(A) sitt ortogonale komplement er Null( $A T$ ).

Ortogonal projeksjon

Du finner den ortogonale projeksjonen p av b inn i underrommet V av $R m$ ved å løse $A T A x' = A T b$ , der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og x' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen p = Ax'.

$A T A$ er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

Egenvektorer og egenverdier

Def: $λ$ er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor v ≠ 0, slik at: $A v = λ v$

Her kalles v en korresponderende egenvektor til egenverdien

λ

.

Den karakteristiske likningen: $λ$ er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis $| A - λ I | = 0$ . Egenvektorene finnes ved å løse $(A - λ I) v = 0$ .

Transponerte matriser

En transponert matrise $A T$ er en matrise der kolonnenevektorene i A skrives som radvektorer, mens radvektorene i A skrives som kolonnevektorer.

$(A B) T = B T A T$

A er symmetrisk dersom A har dimensjonene n x n og $A = A T$

Egenvektorene til en symmetrisk matrise er ortogonale.

Diagonalisering

De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at $A = P B P - 1$ .

A kan diagonaliseres ved: $A = P D P - 1$ , der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne i i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne i i P.

A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

A kan skrives som $A = P D P T$ dersom A er en symmetrisk matrise. Her må matrisen P bestå av ortonormale vektorer, det vil si at egenvektorene må ha lengde én, slik at det(P) = 1. Da kalles P en ortogonal matrise.

For en ortogonal matrise A gjelder:

A er kvadratisk.
$A T$ er ortogonal.
Radene og kolonnene er ortonormale.
$A T = A - 1$ .
det(A) = ±1

Nyttige regneregler

$(A B) - 1 = B - 1 A - 1$

$(A B) T = B T A T$

$x \cdot y = x^T y$

det( $A - 1$ ) = 1/det(A)

det( $A T$ ) = det(A)

$A - 1 A$ = $I$

Eksterne linker