NanoWiki - Brukerbidrag [nb]

Fagoversikt

2011-09-04T15:06:22Z

Fredrol: /* Emner utenom fagplanen */

Fagoversikt for nanoteknologistudiet for studieåret 2011/2012.

For Studiehåndbok for teknologistudiet (sivilingeniør) ved NTNU 2011/2012 se [http://www.ntnu.no/studier/studiehandbok/teknologi her].

== Felles obligatoriske emner i fagplanen ==

=== 1. klasse ===

{| class="wikitable sortable"
|-
! Fagkode
! Emnetittel
! Semester
! Studiepoeng
|-
| [[TDT4105]]
| Informasjonsteknologi, GK
| 1. Høst
| 7,5
|-
| [[TFE4220]]
| Nanoteknologi intro
| 1. Høst
| 7,5
|-
| [[TMA4100]]
| Matematikk 1
| 1. Høst
| 7,5
|-
| [[TFY4115]]
| Fysikk
| 1. Høst
| 7,5
|-
| [[TMA4105]]
| Matematikk 2
| 2. Vår
| 7,5
|-
| [[TMA4115]]
| Matematikk 3
| 2. Vår
| 7,5
|-
| [[TMT4110]]
| Kjemi
| 2. Vår
| 7,5
|-
| [[EXPH0001]]
| Filosofi og vitenskapsteori
| 2. Vår
| 7,5
|-
|}

=== 2. klasse ===

{| class="wikitable sortable"
|-
! Fagkode
! Emnetittel
! Semester
! Studiepoeng
|-
| [[TKJ4102]]
| Organisk kjemi GK
| 3. Høst
| 7,5
|-
| [[TMA4240]]
| Statistikk
| 3. Høst
| 7,5
|-
| [[TMT4185]]
| Materialteknologi
| 3. Høst
| 7,5
|-
| [[TMA4130]]
| Matematikk 4N
| 3. Høst
| 7,5
|-
| [[TFE4120]]
| Elektromagnetisme
| 4. Vår
| 7,5
|-
| [[TBT4170]]
| Bioteknologi
| 4. Vår
| 7,5
|-
| [[TKJ4215]]
| Statistisk termodynamikk i kjemi og biologi
| 4. Vår
| 7,5
|-
| [[TFE4180]]
| Halvlederteknologi
| 4. Vår
| 7,5
|-
|}

=== 3. klasse ===

{| class="wikitable sortable"
|-
! Fagkode
! Emnetittel
! Semester
! Studiepoeng
|-
| [[TFY4170]]
| Fysikk 2
| 5. Høst
| 7,5
|-
| [[TFY4335]]
| Bionanovitenskap
| 5. Høst
| 7,5
|-
| [[TFY4185]]
| Måleteknikk
| 5. Høst
| 7,5
|-
| [[TMT4320]]
| Nanomaterialer
| 5. Høst
| 7,5
|-
| [[TFY4220]]
| Faste stoffers fysikk
| 6. Vår
| 7,5
|-
| [[TIØ4258]]
| Teknologiledelse
| 6. Vår
| 7,5
|-
|}

=== 4. klasse ===

{| class="wikitable sortable"
|-
! Fagkode
! Emnetittel
! Semester
! Merknad
! Studiepoeng
|-
|
| [[Komplementært emne]]
| 7. Høst
| Velg ett fra listen under
| 7,5
|-
|
| [[Eksperter i team]]
| 8. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TFY4330]]
| Nanoverktøy
| 8. Vår
|
| 7,5
|-
|}

=== 5. klasse ===

{| class="wikitable sortable"
|-
! Fagkode
! Emnetittel
! Semester
! Merknad
! Studiepoeng
|-
|
| [[Komplementært emne]]
| 9. Høst
| Velg ett fra listen under
| 7,5
|-
|
| Fordypningsemne
| 9. Høst
|
| 7,5
|-
|
| Fordypningsproskjekt
| 9. Høst
|
| 15
|-
|
| Masteroppgave
| 10. Vår
|
| 30
|-
|}

=== [[Komplementære emner]] ===

{| class="wikitable sortable"
|-
! Fagkode !! Emnetittel !! Studiepoeng
|-
| [[BI3072]] || Miljøtoksikologi || 7,5
|-
| [[FI5206]] || Technology for a good society || 7,5
|-
| [[TEP4223]] || Livssyklusanalyse || 7,5
|-
| [[TIØ4201]] || Risikohåndtering || 7,5
|-
| [[TIØ4295]] || Bedriftsøkonomi || 7,5
|-
| [[TIØ4300]] || Miljøkunnskap, økosystemer og bærekraft || 7,5
|-
| [[TMM4220]] || Innovasjon - Alt er mulig! || 7,5
|-
|}

Det tas ikke hensyn til K-emner ved timeplanlegging.

==Emner for retning Bionano ==

=== 3. klasse ===

{| class="wikitable sortable"
|-
! Fagkode
! Emnetittel
! Semester
! Merknad
! Studiepoeng
|-
| [[TKP4115]]
| Overflate- og kolloidkjemi
| 6. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TBT4110]]
| Mikrobiologi
| 6. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TFY4195]]
| Optikk
| 6. Vår
| Anbefalt
| 7,5
|-
| [[TFY4260]]
| Cellebiologi og cellulær biofysikk
| 6. Vår
| Obligatorisk
| 7,5
|-
| [[TMM4100]]
| Materialteknikk I
| 6. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TMM4175]]
| Polymerer og kompositter
| 6. Vår
|
| 7,5
|-
|}

=== 4. klasse ===

{| class="wikitable sortable"
|-
! Fagkode
! Emnetittel
! Semester
! Merknad
! Studiepoeng
|-
| [[MOL3014]]
| Nanomedisin I - Bioanalyse
| 7. Høst
| Obligatorisk
| 7,5
|-
| [[MOL3005]]
| Immunologi
| 7. Høst
|
| 7,5
|-
| [[NEVR3001]]
| Basal nevrovitenskap
| 7. Høst
|
| 7,5
|-
| [[TBT4135]]
| Biopolymerkjemi
| 7. Høst
| (1)
| 7,5
|-
| [[TFY4265]]
| Biofysiske mikroteknikker
| 7. Høst
| Anbefalt
| 7,5
|-
| [[MOL3015]]
| Nanomedisin II - Terapi
| 8. Vår
| Obligatorisk
| 7,5
|-
| [[MOL3007]]
| Funksjonell genomforskning
| 8. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TFE4160]]
| Elektrooptikk og lasere
| 8. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TFY4195]]
| Optikk
| 8. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TOKS3001]]
| Medisinsk toksikologi
| 8. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TBT4110]]
| Mikrobiologi
| 8. Vår
| (2)
| 7,5
|-
|}

(1) Anbefalt emne for studenter som planlegger fordypningsprosjekt eller master ved Institutt for bioteknologi.

(2) Ikke hensyn til ved time- og eksamensplanlegging.

==Emner for retning Nanomaterialer ==

=== 3. klasse ===

{| class="wikitable sortable"
|-
! Fagkode
! Emnetittel
! Semester
! Merknad
! Studiepoeng
|-
| [[TKP4115]]
| Overflate- og kolloidkjemi
| 6. Vår
| Obligatorisk
| 7,5
|-
| [[TKP4190]]
| Fabrikasjon og anvendelse av nanomaterialer
| 6. Vår
| (1)
| 7,5
|-
| [[TEP4220]]
| Energi og miljøkonsekvensanalyse
| 6. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TKP4130]]
| Polymerkjemi
| 6. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TMT4285]]
| Hydrogenteknologi, brenselceller og solceller
| 6. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TDT4100]]
| Objektorientert programmering
| 6. Vår
|
| 7,5
|-
|}

(1) Obligatorisk, emnet må velges i 3. eller 4. årskurs.

=== 4. klasse ===

{| class="wikitable sortable"
|-
! Fagkode
! Emnetittel
! Semester
! Merknad
! Studiepoeng
|-
| [[TFE4145]]
| Elektronfysikk
| 7. Høst
|
| 7,5
|-
| [[TFY4300]]
| Energi og miljøfysikk
| 7. Høst
|
| 7,5
|-
| [[TKJ4205]]
| Molekylmodellering
| 7. Høst
|
| 7,5
|-
| [[TKP4155]]
| Reaksjonskinetikk og katalyse
| 7. Høst
|
| 7,5
|-
| [[TKT4146]]
| Nanomekanikk
| 7. Høst
|
| 7,5
|-
| [[TMT4145]]
| Keramisk materialvitenskap
| 7. Høst
|
| 7,5
|-
| [[TMT4155]]
| Heterogene likevekter og fasediagram
| 7. Høst
|
| 7,5
|-
| [[TFY4250]]
| Kvantemekanikk 1
| 7. Høst
| (1)
| 7,5
|-
| [[TMT4222]]
| Metallenes mekaniske egenskaper
| 7. Høst
| (1)
| 7,5
|-
| [[TFY4245]]
| Faststoff-fysikk, videregående kurs
| 8. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TKP4190]]
| Fabrikasjon og anvendelse av nanomaterialer
| 8. Vår
| (2)
| 7,5
|-
| [[TMM4162]]
| Atomistisk modellering av brudd i materialer
| 8. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TMT4245]]
| Funksjonelle materialer
| 8. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TMT4322]]
| Solceller og fotovoltaiske nanostrukturer
| 8. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TFE4160]]
| Elektrooptikk og lasere
| 8. Vår
| (1)
| 7,5
|-
| [[TFE4210]]
| Nanoelektronikk
| 8. Vår
| (1)
| 7,5
|-
| [[TFE4230]]
| Nanofotonikk
| 8. Vår
| (1)
| 7,5
|-
| [[TKP4130]]
| Polymerkjemi
| 8. Vår
| (1)
| 7,5
|-
| [[TKP4180]]
| Bioenergi og fiberteknologi
| 8. Vår
| (1)
| 7,5
|-
|}

(1) Ikke hensyn ved time- og eksamensplanlegging.

(2) Obligatorisk, emnet må velges i 3. eller 4. årskurs.

==Emner for retning Nanoelektronikk ==

=== 3. klasse ===

{| class="wikitable sortable"
|-
! Fagkode
! Emnetittel
! Semester
! Merknad
! Studiepoeng
|-
| [[TDT4100]]
| Objektorientert programmering
| 6. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TDT4102]]
| Prosedyre- og objektorientert programmering
| 6. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TFY4195]]
| Optikk
| 6. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TFY4215]]
| Innføring i kvantefysikk
| 6. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TFY4235]]
| Numerisk fysikk
| 6. Vår
|
| 7,5
|-
|}

=== 4. klasse ===

{| class="wikitable sortable"
|-
! Fagkode
! Emnetittel
! Semester
! Merknad
! Studiepoeng
|-
| [[FY3114]]
| Funksjonelle materialer
| 7. Høst
|
| 7,5
|-
| [[TFE4145]]
| Elektronfysikk
| 7. Høst
| Anbefalt
| 7,5
|-
| [[TFE4165]]
| Anvendt fotonikk
| 7. Høst
| Undervises ikke 2011
| 7,5
|-
| [[TFE4225]]
| MEMS-design
| 7. Høst
|
| 7,5
|-
| [[TFY4250]]
| Kvantemekanikk 1
| 7. Høst
|
| 7,5
|-
| [[TFY4205]]
| Kvantemekanikk 2
| 7. Høst
|
| 7,5
|-
| [[TFE4160]]
| Elektrooptikk og lasere
| 8. Vår
| (1)
| 7,5
|-
| [[TFE4210]]
| Nanoelektronikk
| 8. Vår
| Anbefalt
| 7,5
|-
| [[TFE4230]]
| Nanofotonikk
| 8. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TFE4235]]
| Biomedisinsk optikk
| 8. Vår
| (1)
| 7,5
|-
| [[TFY4210]]
| Kvanteteori for mangepartikkelsystemer
| 8. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TFY4245]]
| Faststoff-fysikk, videregående kurs
| 8. Vår
|
| 7,5
|-
| [[TFY4340]]
| Mesoskopisk fysikk
| 8. Vår
|
| 7,5
|-
|}

(1) Ikke hensyn ved time- og eksamensplanlegging

==Emner utenom fagplanen==

{| class="wikitable sortable"
|-
! Fagkode
! Emnetittel
! Studiepoeng
|-
| [[NEVR2010]]
| Innføring i nevrovitenskap
| 15
|-
| [[NEVR2010|NEVR2020]]
| Innføring i nevrovitenskap
| 7,5
|-
| [[MFEL1010]]
| Innføring i medisin for ikke-medisinere
| 7,5
|-
| [[FY3020]]
| Romteknologi I
| 7,5
|-
| [[TTT4235]]
| Romteknologi II
| 7,5
|-
| [[JAP0501]]
| Japansk I
| 7,5
|-
|}

==Eldre fagplaner==
*[[Emner i fagplanen 2010/2011]]
*[[Emner i fagplanen 2009/2010]]
*[[Emner i fagplanen 2008/2009]]

JAP0501 - Japansk 1

2011-09-04T15:04:05Z

Fredrol:

{{Infobox
|Fakta høst 2011
|*Foreleser: Sachiko Shin
*Forelesninger:
Tir. 10:15 - 12:00 KJL3
*Gruppetimer:
Gruppe 1 Tir. 12:15 - 14:00 K26
Gruppe 2 Tor. 12:15 - 14:00
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen, muntlig eksamen, 2 muntlige aktiviteter.
*Eksamensdato: 6.12.2011
*Studiepoeng: 7,5
}}
== JAPANSK I ==

== Kort om faget ==

Emnet gir en '''første innføring''' i japansk allmennspråk med vekt på uttale, lytteforståelse, skriftspråk og grunnleggende grammatikk. Emnet gir også et visst innblikk i japansk kultur og samfunnsliv gjennom tekststudium og samtale.
Faget er ment for '''fullstendige nybegynnere''', men hvert år er det flere deltagere som har en del kunnskap fra før.

== Obligatoriske ting ==

For å ta eksamen kreves det deltagelse på to stk. muntlige aktiviteter.

Activity 1: Thursday 29/09, "Self introduction"

You talk about your name, special interests, family, home town, etc. for ca.2 minutes. You can write a script beforehand and read it.

Activity 2: Thursday 27/10, "Schedules, plans, routines"

You talk about your schedules and daily routines, plans for the weekends, holidays, etc. for ca.3 minutes. You might get a question or two from the teacher. You can write a script beforehand and read it.

== Undervisningsmateriell ==

Kurset baserer seg på kap. 1-6 av [http://sittapir.sit.no/pensum/NTNU/2011/Autumn/3202/JAP0501 Genki I], som kommer som et dobbelt bind med tekstbok og arbeidsbok. Boka refereres til i timene.

JAP0501 - Japansk 1

2011-09-04T15:02:12Z

Fredrol: Ny side: {{Infobox |Fakta høst 2011 |*Foreleser: Sachiko Shin *Forelesninger: Tir. 10:15 - 12:00 KJL3 *Gruppetimer: Gruppe 1 Tir. 12:15 - 14:00 K26 Gruppe 2 Tor. 12:15 - 14:00 *Vurderingsform: Skr...

{{Infobox
|Fakta høst 2011
|*Foreleser: Sachiko Shin
*Forelesninger:
Tir. 10:15 - 12:00 KJL3
*Gruppetimer:
Gruppe 1 Tir. 12:15 - 14:00 K26
Gruppe 2 Tor. 12:15 - 14:00
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen, muntlig eksamen, 2 muntlige aktiviteter.
*Eksamensdato: 6.12.2011
*Studiepoeng: 7,5
}}
== JAP0501 - JAPANSK I ==

== Kort om faget ==

Emnet gir en '''første innføring''' i japansk allmennspråk med vekt på uttale, lytteforståelse, skriftspråk og grunnleggende grammatikk. Emnet gir også et visst innblikk i japansk kultur og samfunnsliv gjennom tekststudium og samtale.
Faget er ment for '''fullstendige nybegynnere''', men hvert år er det flere deltagere som har en del kunnskap fra før.

== Obligatoriske ting ==

For å ta eksamen kreves det deltagelse på to stk. muntlige aktiviteter.

Activity 1: Thursday 29/09, "Self introduction"

You talk about your name, special interests, family, home town, etc. for ca.2 minutes. You can write a script beforehand and read it.

Activity 2: Thursday 27/10, "Schedules, plans, routines"

You talk about your schedules and daily routines, plans for the weekends, holidays, etc. for ca.3 minutes. You might get a question or two from the teacher. You can write a script beforehand and read it.

== Undervisningsmateriell ==

Kurset baserer seg på kap. 1-6 av [http://sittapir.sit.no/pensum/NTNU/2011/Autumn/3202/JAP0501 Genki I], som kommer som et dobbelt bind med tekstbok og arbeidsbok. Boka refereres til i timene.

TKJ4215 - Statistisk termodynamikk i kjemi og biologi

2011-04-26T08:58:15Z

Fredrol:

{{Infobox
|Statistisk termodynamikk i kjemi og biologi
|*Faglærer: Per Olof Åstrand
*Stud.ass.: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen
*Eksamensdato: 06.06.2011
*Pensum:
**K. A. Dill & S. Bromberg, Molecular Driving Forces: Statistical Thermodynamics in Chemistry and Biology, Garland Science, 2003.
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2011
|* ???
}}

Statistisk termodynamikk (også kjent som statistisk mekanikk) tar som mål å forklare mye av termodynamikken ut fra statistiske grunnprinsipp. Faget kan bli forstått som et matematisk modelleringsfag for fysiske problemstillinger innen nanoteknologi, fysikk og kjemi. Statistisk termodynamikk blir undervist i 4. semester.

== Faglig ==
=== Statistikk ===
Dersom <math>N</math> objekter skal ordnes blir antall mulige ordninger <math>N!</math> dersom partiklene er distinkte, altså at de kan skilles fra hverandre, eller <math>\frac{N!}{n_1!\cdot n_2!\cdot ... \cdot n_i!}</math>, dersom hver av de <math>n_i</math> kategoriene er distinkt fra de andre <math>n_{i-1}</math> kategoriene, men objektene i hver kategori ikke er distinkte.

For ''n'' ikke distinkte partikler som kan fordeles i ''N'' tilstander blir antall mulige konfigurasjoner da <math>\frac{N!}{n!\cdot (N-n)!}</math>

=== Ensembler ===
Hvordan skal man vite hvilke variabler som er frie og hvilke som er avhengig for en gitt termodynamisk funksjon? Med hvilke forbehold er variabler definert? Svaret ligger i hvilke ensembler som brukes.

Termodynamiske variabler kommer i to hovedvarianter: ekstensive og intensive. De ekstensive variablene er lik summen av variablene for delsystemer, f.eks. er volumet til et system satt sammen av delsystemer A og B lik volumet av A pluss volumet av B. Dette er ikke tilfellet for f.eks. temperatur, som er en intensiv variabel.

Det er to ensembler som defineres kun ut i fra de ekstensive variablene: <math>U(S,V,N)</math> og <math>S(U,V,N)</math>. Disse ensemblene (altså (S,V,N) og (U,V,N) ensamblene) definerer enkle termodynamiske system fullstendig, og differensialformene av disse angir alle endringer som kan skje i systemene. Dette gjør også F(T,V,N), H(S,p,N) og G(T,p,N), men disse inneholder kombinasjoner av intensive og ekstensive variabler.

Termodynamikken er definert ut i fra den indre energien, der det er entropien S, volumet V og antall partikler N som er de frie variablene. Denne kan defineres på differensialform:

<math>dU=\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} dS+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N}dV+\left(\frac{\partial U}{\partial N_j}\right)_{S,V} dN_j</math>

Legg merke til to ting her: det ene er at ingen relasjoner har blitt definert, man har kun sagt at den indre energien er en funksjon av kun ekstensive variabler, og at den dermed er homogen (se [http://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_function]). Derfor må de andre ensemblene (bortsett fra S(U,V,N)) defineres ut i fra denne. Det andre som er viktig er at det blir gjort [http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_differential partielle derivasjoner], der man deriverer med hensyn på en variabler og holder de andre som konstante. Dermed kan vi definere de intensive variablene slik:

<math>T=\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N}, p = -\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N},\mu_j = \left(\frac{\partial U}{\partial N_j}\right)_{S,V} . </math>

Legg merke til betingelsene for at hver skal gjelde. Ved bruk av Maxwell-relasjoner vil disse betingelsene endre seg grunnet partiell derivasjon med hensyn på andre variabler, men tankegangen er den samme.

==Notater fra Boka==
'''Dette er tilpassa fra notatene som Dag Håkon la ut på forumet.'''
===Kapittel 1: Prinsipper i sannsynlighet===
Dette kapittelet er en innføring i enkel sannsynlighetsregning som brukes når man regner på
entropi på mikronivå.

Definisjonen av sannsynlighet: <math> p_A = \left(\frac{n_A}{N}\right)</math>

Antallet måter man kan velge ut n av N på: <math>W(n,N) = \frac{N!}{n! (N-n)!}</math>

dette kalles også multiplisiteten i termodynamikken.

Videre går kapittelet gjennom sannsylighetsregning som forventes å kunne fra [[TMA4245]].

===Kapittel 2: Bunn- og toppunktsanalyse – forutsi likevekt ===
For å minimere eller maksimere en variabel i en termodynamisk funksjon bruker man ofte
derivasjon. Dette eksemplifiseres i dette kapitlet.

===Kapittel 3: Varme, arbeid og energi ===
”Varme strømmer mot å maksimere entropien”

Kinetisk energi til et legeme med fart v og masse m: <math>K = \frac{1}{2}mv^2</math>

Loven om konservering av energi: <math> E_{kin} + E_{pot} = E_{tot} = konstant </math>

Termisk vs. kinetisk energi for et gassmolekyl: <math>\frac{3}{2}k_B T = \frac{m\langle v^2\rangle}{2}</math>

===Kapittel 4: Matematiske verktøy: Rekker og tilnærminger===
Mange av konvergensene for rekker finner man i Rottmann, og forklaring på Taylor-rekker
finnes på side 53 i boka. I dette faget kan ofte Stirlings approksimasjon være nyttig:

<math>n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math>

Det er en konvensjon at når ''n'' er større enn 10, kan Stirlings formel forenkles til:

<math>n!=\left (\frac{n}{e} \right )^n</math>

Det er denne formen som brukes i alle forenklingene senere i kapitlene, da ''n'' i alle reelle system vil være veldig mye høyere enn 10.

===Kapittel 5: Matematiske verktøy: Flervariabel kalkulus===
For at en punkt skal være et ektrempunkt i en flervariabel funksjon, må alle partiellderiverte
være lik 0.

Ofte er det i tillegg til funksjonen vi skal regne på en betingelsesfunksjon, for å regne med
dette er Lagranges multiplikatormetode nyttig:

<math>\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y = \lambda \left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)_y</math> , <math>\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_x = \lambda \left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)_x</math>

Eulers resiproke sammenheng: <math>\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right) = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\right)</math>

Kjerneregel og partiellderivasjon forventes å kunne fra [[TMA4105]].

===Kapittel 6: Entropi og Boltzmann-loven===
<math>S = k_B \ln{W}</math>

hvor W er multiplisiteten.

Når man regner med multiplisiteter kan det lønne seg å bruke Stirlings approksimasjon.

Entropi er såkalt uorden i systemet, som er proporsjonal med antallet tilstander systemet kan
være i. Å regne på entropi kan sammenliknes med å regne på sannsynligheter. For å regne å
entropiendringer bruker man Boltzmanns distribusjonslov: <math>p_i^* = \frac{e^{-\beta \epsilon_i}}{\sum_{i=1}^t e^{-\beta \epsilon_i}} = \frac{e^{-\beta \epsilon_i}}{q}</math>

Hvor q er partisjonsfunskjonen, som er summen av alle tilstander tilgjengelig for systemet under de gitte forutsetninger.

<math>q = \sum_{i=1}^t e^{-\beta \epsilon_i}</math>

===Kapittel 7: Termodynamiske drivkrefter===
I termodynamikken snakker man ofte om termodyamiske systemer, disse er definert som ulike typer listet opp på side 106 i boka.

Variabler i et system kan deles i intensive og ekstensive. En intensiv variabel er uavhengige av størrelsen på systemet, for eksempel temperatur. Temperaturen dobles IKKE når to like varme legoklosser settes sammen. En ekstensiv variabel er avhengig av størrelsen på systemet, for eksempel er antallet molekyler i to legoklosser satt sammen lik summen av molekylene i de to klossene.

Den fundamentale termodynamiske likingen for energi: <math>U = U\left(S,V,N\right)</math>

Såkalte fundamentallikinger kan skrives på derivatform, som for eksempel:

<math>dU = TdS - pdV + \sum_{j=1}^M \mu_j dN_j</math>

Ved å gjøre om på derivatformer og vet å bruke definisjoner på variabler kan man komme fram til andre fundamentallikninger på diffrensialform, for eksempel for entropi:

<math>dS = \left(\frac{1}{T}\right)dU + \left(\frac{p}{T}\right)dV - \sum_{j=1}^M \left(\frac{\mu_j}{T}\right) dN_j</math>

Ved å se på de matematiske definisjonene på temperatur, trykk og kjemisk potensial kan man si:
* 1/T gir tendensen til varmestrøm
* p/T gir tendensen for volumendring
* μ/T gir tendensen for utveksling av stoff
For at et system skal være i likevekt må dS=0 være oppfylt.
En kvasi-statisk prosess er en prosess som er så treg at verken tid eller hastighet spiller noen rolle. I en slik prosess er arbeidet utført ved konstant trykk og en volumendring fra Vi til Vf gitt ved:

<math>w = -\int_{V_a}^{V_b} p_{ext} dV = -p_{ext}\left(V_B - V_A\right)</math>

Termodynamikkens første lov; Endring i energi er summen av varme tilført og arbeid utført på systemet: <math>dU = \partial q + \partial w</math>

For kvasi-statiske prosesser gjelder også: <math>\partial w = -pdV</math>, <math>dS = \frac{\partial q}{T}</math>

Den siste likningen kalles ofte den termodynamiske definisjonen på entropi.

===Kapittel 8: Laboratoriebetingelser og frie energier===
2 hovedtyper fri energi:
* Helmholtz fri energi: F = U - TS
* Gibbs fri energi: G = H - TS

Akkurat som maksimering av entropien er en betingelse for likevekt, er også minimalisering av fri energi det.

H er entalpi som er summen av indre egergi og volum/trykk-arbeid:
<math>H = H\left(S, p, N\right) = U + pV dH = dU + pdV + Vdp</math>

Her følger en oversikt over fundamentale funskjoner hva likevekt angår:

{| class="wikitable"
|-
! Funksjon
! Ved likevekt
! Fundamental likning
! Definisjon
|-
| U(S,V,N)
| min
| <math>dU = TdS - pdV + \sum_j \left(\mu_j dN_j\right)</math>
|
|-
| S(U,V,N)
| maks
| <math>dS = \left(\frac{1}{T}\right)dU + \left(\frac{p}{T}\right)dV - \sum_j \left(\frac{\mu_j}{T}\right) dN_j</math>
|
|-
| H(S,p,N)
| min
| <math>dH = TdS + VdP - \sum_j \left(\mu_j dN_j\right)</math>
| H = U + pV
|-
| F(T,V,N)
| min
| <math>dF = -SdT - pdV + \sum_j \left(\mu_j dN_j\right)</math>
| F = U - TS
|-
| G(T,p,N)
| min
| <math>dG = -SdT + Vdp + \sum_j \left(\mu_j dN_j\right)</math>
| G = H - TS
|-
|}

Varmekapasitet ved konstant volum:

<math>C_V = \left(\frac{\partial q}{\partial T}\right)_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V = T \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V</math>

Varmekapasitet ved konstant trykk:

<math>C_p = \left(\frac{\partial q}{\partial T}\right)_p = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p = T \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_p</math>

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner/TKJ4215 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v11/?emnekode=TKJ4215-1 Timeplan V11]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 4. semester]]
[[Kategori:Fag 5. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-05T13:55:34Z

Fredrol: /* Diagonalisering */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) [http://sittapir.sit.no/produkt/advanced-engineering-mathematics-9780471728979.aspx "''Advanced Engineering Mathematics''"] - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter===
NB: Kun definert for n x n-matriser.

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* Hvis en matrise har determinant lik 0 er den IKKE inverterbar

* det(AB) = det(A)•det(B)

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_k v_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

'''''Def:''''' <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Transponerte matriser===

*En transponert matrise <math>A^T</math> er en matrise der kolonnenevektorene i A skrives som radvektorer, mens radvektorene i A skrives som kolonnevektorer.

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* A er symmetrisk dersom A har dimensjonene n x n og <math> A = A^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise er ortogonale.

===Diagonalisering===

* De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må matrisen P bestå av ortonormale vektorer, det vil si at egenvektorene må ha lengde én, slik at det(P) = 1. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# det(A) = ±1

===Nyttige regneregler===

* <math>(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}</math>

* <math>(AB)^T=B^TA^T</math>

* <math> x \cdot y = x^T y</math>

* det( <math>A^{-1}</math> ) = 1/det(A)

* det( <math>A^{T}</math> ) = det(A)

* <math>A^{-1}A</math> = <math>I</math>

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v10/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-05T10:15:57Z

Fredrol: /* Determinanter */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) [http://sittapir.sit.no/produkt/advanced-engineering-mathematics-9780471728979.aspx "''Advanced Engineering Mathematics''"] - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter===
NB: Kun definert for n x n-matriser.

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* Hvis en matrise har determinant lik 0 er den IKKE inverterbar

* det(AB) = det(A)•det(B)

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_k v_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

'''''Def:''''' <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Transponerte matriser===

*En transponert matrise <math>A^T</math> er en matrise der kolonnenevektorene i A skrives som radvektorer, mens radvektorene i A skrives som kolonnevektorer.

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* A er symmetrisk dersom A har dimensjonene n x n og <math> A = A^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise er ortogonale.

===Diagonalisering===

* De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må matrisen P bestå av ortonormale vektorer, det vil si at egenvektorene må ha lengde én, slik at det(P) = 1. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# |A| = 1

===Nyttige regneregler===

* <math>(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}</math>

* <math>(AB)^T=B^TA^T</math>

* <math> x \cdot y = x^T y</math>

* det( <math>A^{-1}</math> ) = 1/det(A)

* det( <math>A^{T}</math> ) = det(A)

* <math>A^{-1}A</math> = <math>I</math>

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v10/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]

TMA4115 - Matematikk 3

2010-06-05T10:10:23Z

Fredrol: /* Nyttige regneregler */

{{Infobox
|Fakta vår 2009
|*Foreleser: ???
*Stud-ass: ???
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (?? %), midtsemester (?? %)
*Eksamensdato: ???
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg vår 2009
|* Antall godkjente: ??/??
* Innleveringssted: ???
* Frist: ???
}}

== Om faget ==

Matematikk 3 er tredelt og tar for seg følgende emner:

*'''Komplekse tall'''

En rimelig kort innføring som blant annet tar for seg aritmetikk med komplekse tall, komplekse tall på polarform og røtter og potenser av komplekse tall.

*'''Andre ordens ordinære lineære differensialligninger'''

Tar for seg løsing av 2. ordens ordinære lineære diff. ligninger. Herunder homogene og inhomogene med konstante koeffisienter og spesialtilfeller som "Euler-Cauchy ligninger", homogene ligninger med 1 kjent løsning og metode med variasjon av parametre.

*'''Matriseregning og lineære algebra'''

Hovedvekten av faget er lagt på denne delen. Den gir en innføring i lineær algebra med fokus på blant annet:
Løsing av lineære ligningsett med "Gauss-Jordan"-eliminasjon, matrisearitmetikk, determinanter, vektorrom og underrom, lineær avhengighet, basiser, ortogonalitet i <math> R^n</math>, projeksjoner og minste kvadraters metode, "Gram-Schmidt"-algoritmen, egenverdier og egenvektorer, diagonalisering av matriser, systemer av første ordens differensialligninger, kjeglesnitt i "vridde" koordinatsystem.

Våren 2010 var lærebok i (i) og (ii) [http://sittapir.sit.no/produkt/advanced-engineering-mathematics-9780471728979.aspx "''Advanced Engineering Mathematics''"] - Erwin Kreuszig, mens "''Elementary Linear Algebra''" - Edwards & Penney ble benyttet i del (iii).

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter===
NB: Kun definert for n x n-matriser.

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* ''|AB|=|A||B|.''

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_k v_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

'''''Def:''''' <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Transponerte matriser===

*En transponert matrise <math>A^T</math> er en matrise der kolonnenevektorene i A skrives som radvektorer, mens radvektorene i A skrives som kolonnevektorer.

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* A er symmetrisk dersom A har dimensjonene n x n og <math> A = A^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise er ortogonale.

===Diagonalisering===

* De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må matrisen P bestå av ortonormale vektorer, det vil si at egenvektorene må ha lengde én, slik at det(P) = 1. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# |A| = 1

===Nyttige regneregler===

* <math>(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}</math>

* <math>(AB)^T=B^TA^T</math>

* <math> x \cdot y = x^T y</math>

* det( <math>A^{-1}</math> ) = 1/det(A)

* det( <math>A^{T}</math> ) = det(A)

* <math>A^{-1}A</math> = <math>I</math>

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TMA4115 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/v10/?emnekode=TMA4115-1 Timeplan Vår09]
*[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ MIT OpenCourseWare - Linear Algebra]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 2. semester]]
[[Kategori:Fag]]