NanoWiki - Brukerbidrag [nb]

TFY4170 - Fysikk 2

2010-09-28T20:41:37Z

Magnugje:

TFY4170 - Fysikk 2

2010-09-28T20:27:46Z

Magnugje:

TFY4170 - Fysikk 2

2010-09-17T14:47:52Z

Magnugje:

TFY4170 - Fysikk 2

2010-09-17T14:47:22Z

Magnugje:

{{Infobox
|Fakta høst 2010
|*Foreleser: Jon Otto Fossum
*Stud-ass: Thor Christian Hobæk, Johannes Reinertsen og Magnus Aashammer Gjennestad
*Vurderingsform: Skriftlig eksamen (60 %), midtsemestere (20 % og 20 %)
*Eksamensdato: 09.12.2010 15:00-18:00
*Midtsemesterdatoer: 01.10.2010 12:15-13:30 og 05.11.2010 12:15-13:30
}}

{{Infobox
|Øvingsopplegg høst 2010
|* Antall godkjente: 8/12
* Innleveringssted: Ved R1
* Frist: 15:00 mandag etter øvingstime
}}

== Læringsmål ==

Emnet er et videregående kurs i fysikk, som skal gi studentene innsikt i bølgelære og kvantemekanikk.

== Diffraksjon fra enkeltspalt ==

Vi ser på en monokromatisk, koherent lys som skinner gjennom en spalt med bredde $a$. For å finne intensiteten på den andre siden av spalten, legger vi sammen komponentbølger fra $N+1$ bølgekilder som befinner seg jevnt fordelt på $y$-aksen, mellom $y=-\frac{a}{2}$ og $y=\frac{a}{2}$. Vi får da et ututtrykk for det totale utvinget $u(r,\theta,t)$ i et punkt i avstand $r$ fra origo, med vinkel $\theta$ til $x$-aksen ved tida $t$. Avstanden mellom hver bølgekilde blir da $\frac{a}{N}$.

Faseforskjellen mellom to komponentbølger, sett fra et sted langt ute på $x$-aksen, som kommer fra to bølgekilder med avstand $\frac{a}{N}$ imellom, kaller vi $\phi$. Denne faseforskjellen oppstår som reslutat av forskjellig veilengde $\Delta r$ for de to komponentbølgene. Med bølgetall $k$ får vi følgende uttrukk for $\phi$.

\begin{eqnarray}
\label{phi}
\phi(\theta) &=& k \Delta r \nonumber \\
&=& \frac{ka}{N}\sin(\theta)
\end{eqnarray}

Når vi legger sammen de $N+1$ komponentbølgene får vi

\begin{eqnarray}
\label{sum}
u(r,\theta,t) &=& A \exp{i(kr - \omega t - \frac{N}{2} \phi) + A \exp{i(kr - \omega t - (\frac{N}{2}-1) \phi)} \nonumber \\ && + A \exp{i(kr - \omega t - (\frac{N}{2}-2) \phi) + ... + A \exp{i(kr - \omega t) \nonumber \\ && + ... + A \exp{i(kr - \omega t + (\frac{N}{2}-1) \phi) + A \exp{i(kr - \omega t + (\frac{N}{2}) \phi) \nonumber \\
&=& A \sum_{n=-N/2}^{n=N/2} \exp{i(kr - \omega t + n \phi)}.
\end{eqnarray}

I ligning \ref{sum} er $A$ amplituden til hver komponentbølge. Summen av amplitudene til alle komponentbølgene blir $A_{tot} = A N$ og vi kan skrive $A = \frac{A_{tot}}{N}$. Setter vi denne omskrivingen av $A$ og ligning \ref{phi} inn ligning i \ref{sum} får vi følgende.

\begin{eqnarray}
\label{sum2}
u(r,\theta,t) &=& \frac{A_{tot}}{N} \sum_{n=-N/2}^{n=N/2} \exp{i(kr - \omega t + n \phi)}
\end{eqnarray}

Om vi nå ser på grensa ${\lim }\limits_{n \to \infty }$ av ligning \ref{sum2}, går summen over til en integral og vi får

\begin{eqnarray}
\label{sumint}
u(r,\theta,t) &=& \frac{A_{tot}}{N} \int_{n=-N/2}^{n=N/2}\exp{i(kr - \omega t + n \phi)} dn.
\end{eqnarray}

Så setter vi inn for $\phi$ i ligning \ref{sumint} i henhold til ligning \ref{phi} blir utsvinget

\begin{eqnarray}
\label{sumint}
u(r,\theta,t) &=& \frac{A_{tot}}{N} \int_{n=-N/2}^{n=N/2}\exp{i(kr - \omega t + n \frac{ka}{N}\sin(\theta))} dn.
\end{eqnarray}

Posisjonen til en bølgekilde på $y$-aksen er gitt ved $y=\frac{a}{N}n$. Da kan vi gjøre et variabelskifte i integralet vårt.

\begin{eqnarray*}
\label{var}
n &=& \frac{N}{a}y \\
dn &=& \frac{N}{a} dy
\end{eqnarray*}

Vi kan nå evaluere integralet i ligning \ref{sumint}.

\begin{eqnarray}
\label{sumint}
u(r,\theta,t) &=& \frac{A_{tot}}{N} \int_{y=-a/2}^{y=a/2}\exp{i(kr - \omega t + \frac{N}{a}y \frac{ka}{N}\sin(\theta))} \frac{N}{a} dy \nonumber \\
&=& \frac{A_{tot}}{a} \int_{y=-a/2}^{y=a/2}\exp{i(kr - \omega t + y k \sin(\theta))} dy \nonumber \\
&=& \frac{A_{tot}}{a} \exp{i(kr - \omega t)} \int_{y=-a/2}^{y=a/2} \exp{i(y k \sin(\theta))} dy \nonumber \\
&=& \frac{A_{tot}}{a} \exp{i(kr - \omega t)} \frac{1}{k\sin(\theta)} [\exp{i(y k \sin(\theta))} ]_{y=-a/2}^{y=a/2} \nonumber \\
&=& \frac{A_{tot}}{ak\sin(\theta)} \exp{i(kr - \omega t)} [\exp{i(\frac{ak}{2} \sin(\theta))} - \exp{i(-\frac{ak}{2} \sin(\theta))}]\nonumber \\
&=& A_{tot} \exp{i(kr - \omega t)} \frac{\sin(\frac{ak}{2} \sin(\theta))}{\frac{ak}{2i}\sin(\theta)}\nonumber
\end{eqnarray}

I den siste omskrivinga har vi brukt definisjonen av $\sin()$-funkjsonen fra Rottmann s. 85. Vi definerer nå $\alpha \equiv \frac{ka}{2}\sin(\theta)$ og bruker at intensiteten er proporsjonal med absoluttverdien av utsvinget i andre og får til slutt

\begin{eqnarray*}
\frac{I(r,\theta)}{I(r,0) &=& \frac{|u(r,\theta,t)|^2}{|u(r,0,t)|^2} \nonumber \\
&=& \frac{\sin^2(\alpha)}{\alpha^2}}.\nonumber
\end{eqnarray*}

== Eksterne linker ==

*[http://www.ntnu.no/studier/emner?emnekode=TFY4170 NTNUs fagbeskrivelse]
*[http://www.ntnu.no/studieinformasjon/timeplan/h09/?emnekode=TFY4170-1 Timeplan Høst09]
*[http://org.ntnu.no/bonanza/h04/fysikk2/forelesn/forelesning1-18.pdf Forelesningsnotater av Arne Brataas]

[[Kategori:Obligatoriske emner]]
[[Kategori:Fag 3. semester]]
[[Kategori:Fag]]