Faglige notater: TMA4115 - Sideversjonshistorikk

Rssaetra: /* Nyttige regneregler */

2015-05-04T17:38:37Z

Nyttige regneregler

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 4. mai 2015 kl. 17:38
Linje 156:		Linje 156:
	* <math>A^{-1}A</math> = <math>I</math>		* <math>A^{-1}A</math> = <math>I</math>

	~~[[Kategori:Fag 2. semester]]~~
	~~[[Kategori:Fag]]~~
	[[Kategori: Faglige notater]]		[[Kategori: Faglige notater]]

Rssaetra på 4. mai 2015 kl. 17:33

2015-05-04T17:33:18Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 4. mai 2015 kl. 17:33
Linje 156:		Linje 156:
	* <math>A^{-1}A</math> = <math>I</math>		* <math>A^{-1}A</math> = <math>I</math>

	~~[[Kategori:Obligatoriske emner]]~~
	[[Kategori:Fag 2. semester]]		[[Kategori:Fag 2. semester]]
	[[Kategori:Fag]]		[[Kategori:Fag]]
	[[Kategori: Faglige notater]]		[[Kategori: Faglige notater]]

Jonathrg: /* Andre ordens differensiallikninger */

2015-05-04T14:17:48Z

Andre ordens differensiallikninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 4. mai 2015 kl. 14:17
Linje 27:		Linje 27:

	=== Inhomogene differensiallikninger ===		=== Inhomogene differensiallikninger ===
	Den inhomogene andreordens differensiallikningen <math>y'' + ay' + by = r(x)\,</math> har løsning <math>y = y_h + y_p\,</math>, der <math>y_h\,</math> er løsningen av den homogene likningen, og <math>y_p</math> er én partikulær løsning av den inhomogene likningen. ~~<math>y_p\,</math> kan finnes på ulike måter:~~		Den inhomogene andreordens differensiallikningen <math>y'' + ay' + by = r(x)\,</math> har løsning <math>y = y_h + y_p\,</math>, der <math>y_h\,</math> er løsningen av den homogene likningen, og <math>y_p</math> er én partikulær løsning av den inhomogene likningen.

	<!-- Infodep må fikse filopplasting før denne kan brukes		<!-- Infodep må fikse filopplasting før denne kan brukes
			<math>y_p\,</math> kan finnes på ulike måter:

	==== Ubestemte koeffisienters metode ====		==== Ubestemte koeffisienters metode ====
	Anta at <math>y_p\,</math> er en partikulærløsning av <math>y'' + py' + qy = f(t)\,</math>. La <math>y_h = ay_1 + by_2\,</math> være den generelle løsningen av <math>y'' + py' + qy = 0.\,</math> Da er den generelle løsningen av <math>y'' + py' + qy = f(t)\,</math> lik <math>y = y_p + y_h = y_p + ay_1 + by_2.\,<math/>		Anta at <math>y_p\,</math> er en partikulærløsning av <math>y'' + py' + qy = f(t)\,</math>. La <math>y_h = ay_1 + by_2\,</math> være den generelle løsningen av <math>y'' + py' + qy = 0.\,</math> Da er den generelle løsningen av <math>y'' + py' + qy = f(t)\,</math> lik <math>y = y_p + y_h = y_p + ay_1 + by_2.\,<math/>

Jonathrg: /* Andre ordens differensiallikninger */

2015-05-04T14:15:46Z

Andre ordens differensiallikninger

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 4. mai 2015 kl. 14:15
Linje 29:		Linje 29:
	Den inhomogene andreordens differensiallikningen <math>y'' + ay' + by = r(x)\,</math> har løsning <math>y = y_h + y_p\,</math>, der <math>y_h\,</math> er løsningen av den homogene likningen, og <math>y_p</math> er én partikulær løsning av den inhomogene likningen. <math>y_p\,</math> kan finnes på ulike måter:		Den inhomogene andreordens differensiallikningen <math>y'' + ay' + by = r(x)\,</math> har løsning <math>y = y_h + y_p\,</math>, der <math>y_h\,</math> er løsningen av den homogene likningen, og <math>y_p</math> er én partikulær løsning av den inhomogene likningen. <math>y_p\,</math> kan finnes på ulike måter:

			<!-- Infodep må fikse filopplasting før denne kan brukes
	==== Ubestemte koeffisienters metode ====		==== Ubestemte koeffisienters metode ====
	Anta at <math>y_p\,</math> er en partikulærløsning av <math>y'' + py' + qy = f(t)\,</math>. La <math>y_h = ay_1 + by_2\,</math> være den generelle løsningen av <math>y'' + py' + qy = 0.\,</math> Da er den generelle løsningen av <math>y'' + py' + qy = f(t)\,</math> lik <math>y = y_p + y_h = y_p + ay_1 + by_2.\,<math/>		Anta at <math>y_p\,</math> er en partikulærløsning av <math>y'' + py' + qy = f(t)\,</math>. La <math>y_h = ay_1 + by_2\,</math> være den generelle løsningen av <math>y'' + py' + qy = 0.\,</math> Da er den generelle løsningen av <math>y'' + py' + qy = f(t)\,</math> lik <math>y = y_p + y_h = y_p + ay_1 + by_2.\,<math/>

	==== Variasjon av parametre ====		==== Variasjon av parametre ====
	Anta at <math>y_1\,</math> og <math>y_2\,</math> er løsninger av <math>y'' + py' + qy = 0.\,</math> Alle løsninger er på formen <math>y_h = ay_1 + by_2\,</math>. Ideen er å se etter en løsning av <math>y'' + py' + qy = f(t)\,</math> som tilfredsstiller <math>y = uy_1 + vy_2\,</math> og <math>y' = uy'_1 + vy'_2\,</math>, der <math>u\,</math> og <math>v\,</math> er funksjoner.		Anta at <math>y_1\,</math> og <math>y_2\,</math> er løsninger av <math>y'' + py' + qy = 0.\,</math> Alle løsninger er på formen <math>y_h = ay_1 + by_2\,</math>. Ideen er å se etter en løsning av <math>y'' + py' + qy = f(t)\,</math> som tilfredsstiller <math>y = uy_1 + vy_2\,</math> og <math>y' = uy'_1 + vy'_2\,</math>, der <math>u\,</math> og <math>v\,</math> er funksjoner.
			-->

	==Viktige matriseidentiter og egenskaper==		==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

Rssaetra på 4. mai 2015 kl. 11:58

2015-05-04T11:58:26Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 4. mai 2015 kl. 11:58
Linje 151:		Linje 151:

	* <math>A^{-1}A</math> = <math>I</math>		* <math>A^{-1}A</math> = <math>I</math>

			[[Kategori:Obligatoriske emner]]
			[[Kategori:Fag 2. semester]]
			[[Kategori:Fag]]
			[[Kategori: Faglige notater]]

Rssaetra: Ny side: == Komplekse tall == Et komplekst tall kan skrives på formen $z = a+bi = r\left(\cos\,\theta + i\,\sin\,\theta\right) = re^{i\,\theta}$ . $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = r\quad ...$

2015-05-04T11:57:10Z

Ny side: == Komplekse tall == Et komplekst tall kan skrives på formen <math>z = a+bi = r\left(\cos\,\theta + i\,\sin\,\theta\right) = re^{i\,\theta}</math>. <math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = r\quad ...

Ny side

== Komplekse tall ==

Et komplekst tall kan skrives på formen <math>z = a+bi = r\left(\cos\,\theta + i\,\sin\,\theta\right) = re^{i\,\theta}</math>.

<math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = r\quad \operatorname{Arg}\,z = \arctan{\frac{b}{a}} = \theta</math>

Den komplekskonjugerte til <math>a + bi</math> er <math>a - bi</math>.

=== Røtter av komplekse tall ===

Gitt <math>w = z^n, \quad w = re^{i\,\theta + 2\pi k}, \quad z = \rho e^{i\,\phi}</math>

<math>z^n = \rho^n e^{i\,n\phi} = w</math>

<math>\rho = \sqrt[n]{r} \quad \phi = i\frac{\theta + 2\pi k}{n}, k \in \left[0,n-1\right]</math>

Et komplekst tall har ''n'' n-terøtter, som ligger jevnt fordelt på en sirkel med radius <math>\rho</math> i det komplekse planet.

== Andre ordens differensiallikninger ==

=== Homogene differensiallikninger ===
Den homogene andreordens differensiallikningen <math>y'' + ay' + by = 0\,</math> løses ved å løse den karakteristiske likningen <math>\lambda^2 + a\lambda + b = 0\,</math>.

* Hvis den karakteristiske likningen har kompleks løsning <math>\lambda = \alpha + i\omega</math>, er den generelle løsningen <math>y = e^{\alpha x}\left(c_1\cos{\omega x} + c_2\sin{\omega x}\right)</math>
* Hvis den karakteristiske likningen har én reell løsning (dobbelrot), er den generelle løsningen <math>y = \left(c_1 + c_2x\right)e^{\lambda x}</math>
* Hvis den karakteristiske likningen har to distinkte, reelle løsninger, er den generelle løsningen <math>y = c_1e^{\lambda_1x} + c_2e^{\lambda_2x}</math>

=== Inhomogene differensiallikninger ===
Den inhomogene andreordens differensiallikningen <math>y'' + ay' + by = r(x)\,</math> har løsning <math>y = y_h + y_p\,</math>, der <math>y_h\,</math> er løsningen av den homogene likningen, og <math>y_p</math> er én partikulær løsning av den inhomogene likningen. <math>y_p\,</math> kan finnes på ulike måter:

==== Ubestemte koeffisienters metode ====
Anta at <math>y_p\,</math> er en partikulærløsning av <math>y'' + py' + qy = f(t)\,</math>. La <math>y_h = ay_1 + by_2\,</math> være den generelle løsningen av <math>y'' + py' + qy = 0.\,</math> Da er den generelle løsningen av <math>y'' + py' + qy = f(t)\,</math> lik <math>y = y_p + y_h = y_p + ay_1 + by_2.\,<math/>

==== Variasjon av parametre ====
Anta at <math>y_1\,</math> og <math>y_2\,</math> er løsninger av <math>y'' + py' + qy = 0.\,</math> Alle løsninger er på formen <math>y_h = ay_1 + by_2\,</math>. Ideen er å se etter en løsning av <math>y'' + py' + qy = f(t)\,</math> som tilfredsstiller <math>y = uy_1 + vy_2\,</math> og <math>y' = uy'_1 + vy'_2\,</math>, der <math>u\,</math> og <math>v\,</math> er funksjoner.

==Viktige matriseidentiter og egenskaper==

===Konsekvenser av invertiblitet===

Følgende utsagn er ekvivalente:

* A er inverterbar.

* det(A) ≠ 0.

* A er radekvivalent med I.

* <math>Ax = 0</math> har kun den trivielle løsningen <math>x=0</math>

* <math>Ax=b</math> har én unik løsning.

===Determinanter===
NB: Kun definert for n x n-matriser.

* Ganger du én rad i en matrise med k, blir determinanten k ganger større.

* Bytter du to rader i en matrise, skifter determinanten fortegn.

* Tar du et multiplum av en rad og legger til en annen, er determinanten uendret.

* Hvis en matrise har determinant lik 0 er den IKKE inverterbar

* det(AB) = det(A)•det(B)

===Lineær avhengighet===

'''''Def:''''' Vektorene <math>v_1, v_2, ... ,v_k</math> er lineært uavhengige dersom <math>c_1 v_1+c_2v_2+...+c_k v_k=0 </math>, kun har den trivielle løsningnen <math>c_1=c_2=...=c_k=0</math>.

===Basis===

'''''Def:''''' En endelig mengde S av vektorer fra vektorrommmet V kalles en basis for V dersom:

* Vektorene i S er lineært uavhengige.

* Vektorene i S utspenner hele V.

===Rad-, kolonne- og nullrom===

* Radvektorene i en echelonmatrise ''A'' er lineært uavhengige og utgjør en basis for radrommet eller ''Row(A)'' til matriser som er radekvivalente med ''A''.

* En basis for kolonnerommet til A finnes ved å redusere matrisen til en matrise ''E'' på echelonform. Kolonnene som korresponderer med med de ledende kolonnene i ''E'' utgjør basisen for kolonnerommet.

* Kolonnerommet eller ''Col(A)'' utgjør løsningsrommet til ''A'''''x'''='''b'''. Altså ligger alle '''b''' som har løsning i ''Col(A)''.

* Nullrommet eller ''Null(A)'' er basis for løsningene av ''A'''''x'''='''0'''.

* ''Rank(A)'' = ''dim(Col(A))'' = ''dim(Row(A))''

*''n'' = ''rank(A)'' + ''dim(Null(A))''. Der ''n'' er antall kolonner i ''A''.

*''Row(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(A)''.

*''Col(A)'' sitt ortogonale komplement er ''Null(<math>A^T</math>)''.

===Ortogonal projeksjon===

* Du finner den ortogonale projeksjonen '''p''' av '''b''' inn i underrommet V av <math>R^m</math> ved å løse <math>A^TAx' = A^Tb</math>, der A er en matrise med kolonnevektorer lik basisvektorene for V, og '''x'''' er "minste kvadraters løsning". Projeksjonen '''p''' = A'''x''''.

* <math>A^TA</math> er ikkesingulær, dvs inverterbar, hvis A er en mxn-matrise med rank(A) = n.

===Egenvektorer og egenverdier===

'''''Def:''''' <math>\lambda</math> er en egenverdi for en nxn-matrise A dersom det finnes en vektor '''v''' ≠ '''0''', slik at: <math>Av = \lambda v</math>

:Her kalles '''v''' en korresponderende egenvektor til egenverdien <math>\lambda</math>.

* ''Den karakteristiske likningen'': <math>\lambda</math> er en egenverdi til matrisen A hvis og bare hvis <math>|A-\lambda I| = 0</math>. Egenvektorene finnes ved å løse <math>(A-\lambda I) v = 0 </math>.

===Transponerte matriser===

*En transponert matrise <math>A^T</math> er en matrise der kolonnenevektorene i A skrives som radvektorer, mens radvektorene i A skrives som kolonnevektorer.

* <math> (AB)^T = B^TA^T </math>

* A er symmetrisk dersom A har dimensjonene n x n og <math> A = A^T </math>

* Egenvektorene til en symmetrisk matrise er ortogonale.

===Diagonalisering===

* De kvadratiske matrisene A og B er similære dersom det eksisterer en invertibel matrise P slik at <math>A = PBP^{-1}</math>.

* A kan diagonaliseres ved: <math> A = PDP^{-1}</math>, der P er en matrise med kolonnevektorer lik egenvektorene til A, og D er en nxn-diagonalmatrise med egenverdiene langs diagonalen. NB! Egenverdien i kolonne '''i''' i D må korrespondere til egenvektoren i kolonne '''i''' i P.

* A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.

* Dersom egenvektorer korresponderer med forskjellige egenverdier er de lineært uavhengige.

* A kan skrives som <math>A = PDP^T</math> dersom A er en symmetrisk matrise. Her må matrisen P bestå av ortonormale vektorer, det vil si at egenvektorene må ha lengde én, slik at det(P) = 1. Da kalles P en ortogonal matrise.

* For en ortogonal matrise A gjelder:

:# A er kvadratisk.
:# <math>A^T </math> er ortogonal.
:# Radene og kolonnene er ortonormale.
:# <math>A^T = A^{-1}</math>.
:# det(A) = ±1

===Nyttige regneregler===

* <math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math>

* <math>(AB)^T=B^TA^T</math>

* <math> x \cdot y = x^T y</math>

* det( <math>A^{-1}</math> ) = 1/det(A)

* det( <math>A^{T}</math> ) = det(A)

* <math>A^{-1}A</math> = <math>I</math>

Faglige notater: TMA4115 - Sideversjonshistorikk

Rssaetra: /* Nyttige regneregler */

Rssaetra på 4. mai 2015 kl. 17:33

Jonathrg: /* Andre ordens differensiallikninger */

Jonathrg: /* Andre ordens differensiallikninger */

Rssaetra på 4. mai 2015 kl. 11:58

Rssaetra: Ny side: == Komplekse tall == Et komplekst tall kan skrives på formen z = a+bi = r\left(\cos\,\theta + i\,\sin\,\theta\right) = re^{i\,\theta}. |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = r\quad ...

Rssaetra: Ny side: == Komplekse tall == Et komplekst tall kan skrives på formen $z = a+bi = r\left(\cos\,\theta + i\,\sin\,\theta\right) = re^{i\,\theta}$ . $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = r\quad ...$